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RMQ/ST表

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11月 28, 2021

应用倍增的思想,主要用来解决区间最值问题,可以做到(O(NlogN))预处理,(O(1))查询,相比于线段树代码更短,但是不支持修改,是静态数据结构,本质就是一个动态规划。

(f(i,j))表示起点为(i),区间大小为(2^j)的最大值,即区间([i, i + 2^j – 1])里的最大值,那么边界就是(f(i,0)),即(w[i])

递推的时候让子区间成倍增长,得递推式(f(i, j) = max(f(i,j – 1), f(i + 2^{j – 1},j – 1)),如下图。
image

代码

void init() {
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            if (!j) f[i][j] = w[i];
            else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
        }
    }
}

查询任意区间([l, r])时,先计算一个(k),使得(2^k)是小于区间长度得一个最大得(k),那么从(l)开始得(2^k)个数和以(r)为结尾得(2^k)个数就覆盖了整个区间([l, r]),如下图。
image

即使有重叠也没有关系,那么区间最大值就是(max(f(l, k), f(r – 2^k + 1, k)))
代码

int query(int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int k = log(len) / log(2);
    return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}

例题AcWing 1273. 天才的记忆

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10, M = 18;
int f[N][M], w[N]; //f[i][j]表示从i开始长度为2^j的区间最大值是多少
int n, m;

void init() {
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            if (!j) f[i][j] = w[i];
            else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
        }
    }
}

int query(int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int k = log(len) / log(2);
    return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
    
    init();
    
    cin >> m;
    while (m--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << query(l, r) << endl;
    }
    
    return 0;
}

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