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二项式定理习题证明

admin

11月 28, 2021

习题证明

证明:

[sum_{k=0}^n (-1)^kinom{n}{k}^2 = egin{cases}
0, ext{若 n 是奇数} \
(-1)^minom{2m}{m}, ext{若}n = 2m
end{cases}
]

奇数情况显然,考虑偶数情况。

[ ext{令} n = 2m \

(x-1)^n(x+1)^n = (x^2 – 1)^n \
sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k}x^k sum_{k=0}^ninom{n}{k}x^k = sum_{k=0}^{n} (-1)^k inom{n}{k}x^{2k} \
ext{由于n次系数相等,可得} \
sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k} x^k inom{n}{n-k} x^{n-k} = (-1)^m inom{n}{m}x^n \
sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k}^2 x^n = (-1)^m inom{n}{m}x^n \
sum_{k=0}^n (-1)^k inom{n}{k}^2 = (-1)^m inom{n}{m} \
]

证毕。

7.求出:

[inom{n}{k} + 3inom{n}{k-1}+3inom{n}{k-2}+inom{n}{k-3}
]

解:

[ ext{原式} = inom{3}{0}inom{n}{k} + inom{3}{1}inom{n}{k-1}+inom{3}{2}inom{n}{k-2} + inom{3}{3}inom{n}{k-3} \
= sum_{i=0}^k inom{3}{i}inom{n}{k-i} \
= inom{n+3}{k}
]

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