• 周日. 7月 3rd, 2022

5G编程聚合网

5G时代下一个聚合的编程学习网

热门标签

走一走 欧拉先生 走过 的 路

admin

11月 28, 2021

走一走  欧拉先生  走过 的 路 ,     比如 ,   自己动手 建立一个 自然对数 体系,  如何 ?

 

这些 想法 也是 隐约 由来已久  ,   但 写 这篇 文章 的 直接原因 是   今天 下午 在 民科吧 看到 这个 帖 《考大家一道数学题,请写出详细计算过程。》  https://tieba.baidu.com/p/7478296653  。

 

 

 

 

 

我在 民科吧 和 数学吧 经常 看到  学生党 提到   lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷    这个 极限,    据 (相关资料) 说,   这个 极限 就是 自然对数底 e ,也就是说,   e =  lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷  。

 

我想,     这个 极限 怎么求 先不管,    它 是 怎么来 的 ?       能不能 推导出来 ?

 

下午 的 时候,    我 试了一下,        还 真能 推导 出来  。

 

有关资料 显示,    自然对数  和   ʃ 1/x dx  这个 积分 有关,      ʃ 1/x dx   我 在 《我决定在 反相吧 开展 一系列 的 趣味课堂, 来 普及 微积分 (4)》      https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12585020.html     的  第 24 讲 提过,    它 是  dy / dx = y   这个 微分方程 的 解 的 反函数  。

 

dy / dx = y     的 意义 是   y ′= y ,   也就是 导数 和 原函数 一样,  是 同一个 函数,   也就是 存在一个   y = f ( x )  ,  使得   f ‘ ( x ) = f ( x )   。

 

我们现在 已经 知道 存在一个 指数函数  y = e^x  ,  e 为常数  可以 满足 dy / dx = y ,   求 e   。

 

因为   y = e^x  满足   dy / dx = y ,    也就是

 

[ e ^ ( x + ⊿ x ) – e ^ x ]  / ⊿ x    =    e ^ x     ,     ⊿ x -> 0

e ^ ( x + ⊿ x ) – e ^ x    =    e ^ x   *   ⊿ x

e ^ x   *   e ^ ⊿ x    –    e ^ x     =     e ^ x   *   ⊿ x

e ^ ⊿ x   –   1    =    ⊿ x

e ^ ⊿ x     =     1   +   ⊿ x

e   =    ( 1  +  ⊿ x )  ^  ( 1 / ⊿ x )

 

因为   ⊿ x  是 一个 无穷小,    ⊿ x -> 0 ,     因此,   ⊿ x  也可以写成    1 / n  ,  n ∈ N  ,   n -> 无穷,   也就是   ⊿ x = 1 / n  ,  n ∈ N  ,   n-> 无穷 ,   于是 ,

 

e   =   ( 1  +  1 / n )  ^ n    ,      n -> 无穷

 

 

还有一个 说法,   lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷    这个 极限 也叫做 “利滚利”   ,     啊,这  。

 

上文 说  “我们现在 已经 知道 存在一个 指数函数  y = e^x  ,  e 为常数  可以 满足 dy / dx = y ,   求 e   。”   ,    为什么知道 是 指数函数 而 不是 别的 函数 ?  为什么 确定 是 指数函数 而 不是 别的 函数 ?

 

这需要 一些 猜想 和 证明,    以后补上  。

 

接下来,    lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷    这个 极限  怎么求 ?     

 

有 泰勒级数 的 话,   求 e  很容易,     在 没有 泰勒级数 的 时代,   求  lim (1 + 1/n) ^ n , n -> 无穷  要 想些 办法,   可能 要 动用一些 “花招” 才行  。

 

有时候觉得,    泰勒级数 在 初等函数 领域 内 简直 是 杀手锏,    初等函数 领域 产生 的 超越数 π 、e  用 泰勒级数 表示 是 无往不利  。

 

哎 ?       初等函数 领域 还有 哪些 超越数 ?       按理, 应该 有 很多,    但印象中 据说 主要 就  π 、e   这两个  。

 

 

未完待续  。

 

说是 未完待续,      但 未来 还 续不续,    也是说不定的,     再说吧,    哈哈哈哈  。

 

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。