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P4159 [SCOI2009] 迷路

admin

11月 28, 2021

Problem

给一个(n)个节点(m)条边的带权有向图。求从(1 o n)的长度为(t)的路径条数。对(2009)取模。
(2 le n le 10,1 le t le 10^9)
值得一提的是,此题的输入格式:

说明边权(le 9)

Solution

Thinking 1

考虑边权都为(1)怎么做。
(f[t][i][j])为长度为(t)(i o j)的路径数。
易得:

[f[t][i][j] = sum_{k = 1} ^ n f[t – 1][i][k] cdot f[1][k][j]
]

这就是矩阵乘法板子。易得(f[t] = f[1]^t)

Thinking 2

考虑一条(u o v),长度为(w)的边。
可以把它拆成(w)条长度为(1)的边,然后中间用拆的点表示。
然后变成(10n cdot 10n)的矩阵搞。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 2009;
int n,t;
struct Matrix
{
    int a[105][105];
    void init(int x = 0)
    {
        for(int i = 1; i <= n * 10; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n * 10; j++) 
            {
                a[i][j] = (i == j) ? x : 0;
            }
        }
        return;
    }
}A;
int calc(int i,int j) {return (i - 1) * 10 + j;}
Matrix operator * (const struct Matrix &x,const struct Matrix &y)
{
    Matrix ans; ans.init();
    for(int i = 1; i <= n * 10; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n * 10; j++)
        {
            for(int k = 1; k <= n * 10; k++)
            {
                ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) % mod;
            }
        }
    }
    return ans;
}
Matrix qpow(Matrix x,int p)
{
    Matrix ans; ans.init(1);
    while(p)
    {
        if(p & 1) ans = ans * x;
        p >>= 1;
        x = x * x;
    }
    return ans;
}
int main(void)
{
    scanf("%d%d",&n,&t);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= 9; j++)
        {
            A.a[calc(i,j)][calc(i,j + 1)] = 1;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        char s[12];
        scanf("%s", s + 1);
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int x = s[j] - '0';
            if(!x) continue;
            A.a[calc(i,x)][calc(j,1)] = 1;
        }
    }
    Matrix ans = qpow(A,t);
    printf("%d
",ans.a[1][calc(n,1)]);
    return 0;
}

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