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第六章-二次型

admin

11月 28, 2021

二次型: 变量的幂, 相乘变量的幂之和等是2的都是二次型

  • 平方项: 式子中幂是2的变量
  • 交叉项: 不同变量乘积的元素

二次型→矩阵表达式

  • 平方项的系数直接做对角线的元素
  • 交叉项的系数除以2放两个对称的相应位置上(x1x2: 就放在第1行, 第2列, 第2行,第1列的位置上)
  • 二次型→矩阵表达式, XTAX
    • A:二次型矩阵(对称)

矩阵→二次型

  • 主对角线的元素直接做为平方项的系数(对应位置, 对应系数, aii=xi2)
  • 取主对角线右上角元素乘以2, 作为交叉项系数(对应位置, 对应系数)

标准型: 只有平方项,叫做标准型

  • 表达式: d1y12+d2y22+…dnyn2

合同: 矩阵AB是n阶方阵, 存在可逆矩阵C, 使得CTAC=B, 那么就称矩阵A,B合同

  • 反身性: A合同A, ETAE=A
  • 对称性: A合同B, B合同A
  • 传递性: A合同B, B合同C, 那么A合同C
  • A合同B, r(A)=r(B), CTAC=B
  • A合同B, AT=A↔BT=B
  • A合同B, A,B可逆, 则A-1合同B-1
  • A合同B, AT合同BT

总结:

  • 等价: A,B同型, 存在可逆矩阵P, 使得PAQ=B
  • 相似: A,B同型方阵, 存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B
  • 正交相似: A,B同型方阵, 存在正交矩阵P, 使得P-1AP=B   (P-1=PT)
  • 合同: A,B同型方阵, 存在可逆矩阵P, 使得PTAP-B

化二次型为标准形

  • 配方法(先x1, 再x2, 再x3…, 写出线性替换→X=CY, 配完x1, 后面不能出现x1)
    • 当只有交叉项的时候, 通用方法是,令x1=y1-y2, x2=y1+y2, x3=y3, x4=y4
  • 初等变换
    • 对A,E做同样的初等列变换
    • 只对A做相应的初等行变换
    • A化成对角矩阵之时, E化成的就是C
  • 正交替换
  • 正项数: 正惯性指数
  • 负项数: 负惯性指数

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