二次型: 变量的幂, 相乘变量的幂之和等是2的都是二次型

• 平方项: 式子中幂是2的变量
• 交叉项: 不同变量乘积的元素

二次型→矩阵表达式

• 平方项的系数直接做对角线的元素
• 交叉项的系数除以2放两个对称的相应位置上(x₁x₂: 就放在第1行, 第2列, 第2行,第1列的位置上)
• 二次型→矩阵表达式, X^TAX
  • A:二次型矩阵(对称)

矩阵→二次型

• 主对角线的元素直接做为平方项的系数(对应位置, 对应系数, aii=xi²)
• 取主对角线右上角元素乘以2, 作为交叉项系数(对应位置, 对应系数)

标准型: 只有平方项,叫做标准型

• 表达式: d₁y₁²+d₂y₂²+…d_ny_n²

合同: 矩阵AB是n阶方阵, 存在可逆矩阵C, 使得C^TAC=B, 那么就称矩阵A,B合同

• 反身性: A合同A, E^TAE=A
• 对称性: A合同B, B合同A
• 传递性: A合同B, B合同C, 那么A合同C
• A合同B, r(A)=r(B), C^TAC=B
• A合同B, A^T=A↔B^T=B
• A合同B, A,B可逆, 则A^-1合同B^-1
• A合同B, A^T合同B^T

总结:

• 等价: A,B同型, 存在可逆矩阵P, 使得PAQ=B
• 相似: A,B同型方阵, 存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=B
• 正交相似: A,B同型方阵, 存在正交矩阵P, 使得P^-1AP=B   (P^-1=P^T)
• 合同: A,B同型方阵, 存在可逆矩阵P, 使得P^TAP-B

化二次型为标准形

• 配方法(先x₁, 再x₂, 再x₃…, 写出线性替换→X=CY, 配完x₁, 后面不能出现x₁)
  • 当只有交叉项的时候, 通用方法是,令x₁=y₁-y₂, x₂=y₁+y₂, x₃=y₃, x₄=y₄
• 初等变换
  • 对A,E做同样的初等列变换
  • 只对A做相应的初等行变换
  • A化成对角矩阵之时, E化成的就是C
• 正交替换
• 正项数: 正惯性指数
• 负项数: 负惯性指数