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第三,四章-多维随机变量及其分布

admin

11月 28, 2021

二位随机变量:

  • E随机试验, Ω是样本空间, X,Y 是定义在Ω上的两个随机变量, (X,Y)向量/变量来自统一个样本空间
  • 分布函数: F(x,y) = P{X≤x, Y≤y}, 联合分布, 定义域: X≤x and Y≤y的平面, 则概率就是, 定义域在空间内的体积
  • X≤x, Y≤y
    • 0≤F(x,y)≤1
    • F(x,y)不减函数, y固定, x1<x2 F(x1,y)≤F(x2,y)
    • F(-∞, y)=0, F(x,-∞)=0, F(-∞, +∞)=0, F(+∞, +∞)=1
    • F(x,y)分别关于x和y右连续
    • x1<x2, y1<y2, P{x1<X≤x2, y1<Y≤y2} = F(x2, y2)-F(x2, y1) – F(x1, y2) + F(x1, y1)

二维离散型的联合分布及边缘分布

  • X, Y取离散型数据
  • P{X≤x, Y≤y}=Pij,
    • Pij≥0
    • ΣΣPij=1
    • F(x,y) = P{X≤x, Y≤y} = Σxi≤xΣyi≤yPij
  • 边缘分布:
    • 取极端, 当求X的边缘分布, 就是把X=xi(i=1,2,3..)分别对应的yi的概率相加, 即: F(Xi, Y) = P{Xi, y1} + P{Xi, y2} + P{Xi, y…}
    • 同理, 当球Y的边缘分布, 和固定y 分别对应x求概率相加之和
  • 联合分布可唯一确定边缘分布
  • 边缘分布不能确定联合分布
  • F(x,y) = P{X≤x, Y≤y}=∫-∞x-∞yf(s,t)dsdt   f(x,y)联合密度函数
    • f(x,y)≥0
    • -∞+∞-∞+∞f(x,y)dxdy =1
    • 2F(x,y)/(∂x∂y) = f(x,y)
    • C1未XY的平面区域, P{(X,Y)€G}=∫∫f(X,Y)dxdy
  • 边缘密度函数: 
    • F(x) = f(x,+∞)=∫-∞x[∫-∞+∞f(s,t)dt]ds
    • fX(x)=∫-∞+∞f(x,t)dt=∫-∞+∞f(x,y)dy
    • fY(y)=∫-∞+∞f(s,y)ds=∫-∞+∞f(x,y)dx
    • 二维正太分分布的边缘分布也是正太分布
    • 来那个边缘分布是正太, 二维并非是二维正太分布

条件分布:

  • 在一个事件A已经发生的条件下, 事件x发生的分布
  • F(x) = P{X≤x}, F(x|A) = p{X≤x|A}
  • 离散型的条件分布:
    • 分别求单个元素概率/边缘密度函数概率=离散型的条件分布
  • 连续型的条件分布:
    • x,y是条件变量,密度函数是f(x,y),已知fX(x), fY(y), 若fY(y)>0, 在Y=y的条件下,f(x|y)=∫-∞x[f(u,y)]/fY(y)du, f(x|y) = f(x,y)/fY(y), 同理: F(y|x) = ∫-∞yf(x,v)/fX(x)dv   f(y|x)=f(x,y)/fX(x)

随机变量的独立性:

  • f(x|y) = fX(x) = f(x,y)/f(Y(y)
  • f(x,y) = fX(x)fY(y)  联合密度函数=边缘密度函数的乘积
  • F(x,y) = FX(x)FY(y) 用分布函数定义: 联合分布函数=边缘分布函数的乘积
  • 二维离散型的独立性:
    • 边缘密度函数的乘积分别等于联合密度
  • 二维连续型的独立性:
    • f(x,y) = fX(x)fY(y)
  • 二维随机变量的函数分布
    • 二维离散型:Z=XY, 
      • Z = X1Y1, X2Y2, X3Y3,…
      • P{z} = P{X1,Y1}, P{X2,Y2}, …
    • X1,X2独立, 服从0~1分布
      • x1+x2(x1,x2) = P{x1}P{x2}…
  • X,Y独立事件, λ1, λ2服从泊松分布, Z=X+Y, P{x=k}=λk/k!e
    • P{Z=k} = Σi=0kP{x=i, Y=k-i}=Σi=0kP{x=i}P{k-i} = Σi=0kλi/i!e1λ2k-i/(k-i)!e-λ2 = (λ1+λ2)k/k!e-(λ1+λ2)

二维连续变量函数的分布

  • 已知事件(X,Y), f(x,y), 构建一个新的函数Z = g(X,Y), 使得FZ(z) = P{Z≤z} = P{g(X,Y)≤z} = ∫∫f(x,y)dxdy
  • fZ(z) = ∫-∞+∞f(x,z-x)dx = ∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx
  • fZ(z) = ∫-∞+∞f(z-y, y)dy = ∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy
  • 卷积公式使用前提条件
    • z = x+y
    • x,y独立
  • X~N(μ112), Y~N(μ2, σ22), X+Y~N(μ12, σ1222)

数学期望:

  • 离散变量的数学期望: 如果P{X=x}=Pk, 若Σk=1xkPk绝对收敛, 那么Ex = Σk=1xkPk
  • 连续型变量的数学期望:随机变量x, 他的密度函数是f(x), 假设∫-∞+∞x(x)dx绝对收敛, Ex = ∫-∞+∞xf(x)dx
  • 随机变量函数的期望:
    • 二维变量函数Z=g(X,Y)的期望, (X,Y)
      • 离散型: EZ = ΣΣg(xi, yi)Pij
      • 连续型: Ez = ∫-∞+∞-∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy
  • 数学期望的性质:
    • 常数的期望就是常数: EC= C
    • E(X+C) = EX+C
    • E(CX) = CEX
    • E(kx+b)=kEx+b
    • E(x±y)=Ex+Ey(任何时候都成立)
      • E(ΣCiXi)=ΣCiEXi
      • E(1/nΣXi) = 1/nΣXi
    • X,Y独立, E(XY) = EX·EY
  • 条件期望:一个变量取某值, 另一个变量的期望
    • 离散: E(X|Y=yi) = ΣxiP(X=xi|Y=yi)   E(Y|x=xi) = ΣyiP(Y=yi|X=xi)
    • 连续性:E(X|Y=y)=∫-∞+∞xf(x|y)dx   E(Y|X=x)=∫-∞+∞yf(y|x)dy
    • 条件期望具有期望的一切性质

方差:Dx = E(x-Ex)存在一个量纲的问题

  • 与期望偏离的程度
  • DX½: 叫做标准差(解决量纲变化的问题)
  • 离散型:
    • DX = Σ(xk-Ex)2P
  • 连续型:
    • DX = ∫-∞+∞(x-Ex)2f(x)dx
  • DX = EX2-(EX)2  
  • 方差的性质:
    • 常数的方差=0: DC= 0
    • D(X+C) = DX
    • D(CX) = C2DX
    • D(kx+b)=k2DX
    • X,Y独立, D(X±Y)=DX+DY
    • DX=0↔P(X=EX)=1
  • 标准化:
    • x* = (x-Ex)/(Dx)½  

常见离散型的期望与方差:

  • 0-1分布: P(x=k)=pk(1-p)1-k 
    • 期望: EX = p   方差: pq
  • 二项分布: p(x=k)=Cnkpkqn-k
    • 期望: EX = np,  方差: DX = npq
  • 几何分布: p(x=k) = (1-p)k-1
    • 期望: EX = 1/p   方差: DX = (1-p)/p2
  • 泊松分布:p(x=k)=λk/k!e, k=1,2,3…
    • 期望: EX = λ    方差: DX = λ
  • 均匀分布: f(x) = 1/(b-a)   a≤x≤b
    • 期望: EX = (a+b)/2    方差: DX = (b-a)2/12 
  • 指数分布: f(x) = λe-λx   x>0
    • 期望: EX = 1/λ      方差: DX = 2/λ2  
  • 正态分布: X~N(μ, σ2)
    • 期望: EX = μ        方差: DX = σ

协方差: 

  • Cov(x,y) = E[(X-EX)(Y-EY)] = E(XY) – EXEY
  • 性质1: Cov(X,Y) = Cov(Y, X)
  • 性质2: Cov(aX, bY) = abCov(X,Y)]
  • 性质3: Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
  • 性质4: Cov(C,X) = 0
  • 性质5: X,Y独立, Cov(X,Y) = 0

相关系数:

  • ρ = Cov(X,Y)/(DX½DY½) = [E(XY) – EXEY]/(DX½DY½)与Cov(X,Y)同正, 同负, 同0
  • X,Y独立, 则X,Y线性不相关
    • X,Y不相关, X,Y不一定独立
    • 独立与不相关是等价的

原点距: EXk,  期望: EX, 一阶原点距

  • 离散: ΣxikPi
  • 连续: ∫-∞+∞xkf(x)dx

中心距: E(X-EX)k  以EX为中心

  • 一阶中心距: E(X-EX) = EX – EX = 0
  • 二阶中心距: E(X-EX)2  方差
  • 离散: Σ(Xi=Ex)kPi
  • 连续: ∫-∞+∞(X-EX)kf(x)dx

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