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第五章-大数定律&中心极限定理

admin

11月 28, 2021

大数定律: 大量的重复试验平均结果的稳定性

  • 切比雪夫不等式:
    • 定理:假设x随机变量,EX和DX都存在, 任取ξ >0, 则P(|X-Ex|≥ξ) ≤ DX/ξ2  
      • DX越小, 波动越小, 落在外面的概率越小
      • DX越大, 波动越大, 落在外面的概率越大
      • ξ越大, 落在外面的概率越小
      • ξ越小, 落在外面的概率越大
  • 切比雪夫大数定律:
    • 收敛: an→a, 任意ξ>0, n>N时, |an-a|<Σ
    • 依概率收敛: Xn→a, 存在一个ξ<0, 任意N>0, 时P{|Xn-a|<ξ} = limn→∞P{|Xn-a|<ξ}=1
  • 伯努利大数定律:
    • 重复n次试验, 事件A发生了Mn次. 概率未P. Mn/n是频率. limn→∞P{|Mn/n-P|<ξ}=1(limn→∞P{|Mn/n-P|≥ξ}=0)
  • 定理3:切比雪夫大数定律
    • x1,…xn时不行哎你给惯的额随机变量, EXi和DXi都存在, 方差有界, DX≤M,任意ξ>0, limn→∞P{|1/nΣi=1nXi – 1/nΣi=1nEXi|<ξ} =1
  • 推论: X1,…Xn独立同分布, EXi=μ, DXi=σ2, 方差无要求, limn→∞P{|1/nΣi=1nXi-μ|<ξ} = 1  (平均数→期望)

中心极限定理:

  • 现象由大量相互独立的因素影响
  • 大量独立同分布的变量之和的极限分布时正太分布
  • 定理: X1,…Xn…是独立同分布(不管什么分布), EXi=μ, DXi = σ2, 0<σ2<+∞
    • limn→∞P[(Σi=1nXi – nμ)/(n½σ)≤x] = Φ0(x),   
      • Y = Σi=1nXi,  EY = EΣi=1nXi = nμ,  DY = D(Σi=1nXi) = Σi=1nDXi = nσ

定理: Yn时参数未p的二项式分布, n,p服从二项式分布

  • limn→∞P[(Yn-np)/(np(1-p)½)≤x] = Φ0(x)

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