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第六章-总体与样本

admin

11月 28, 2021

总体: 研究事物的总体

个体: 全体事物中的单个,叫做个体

有限总体: 总体时有限个.

无限总体: 熊踢无限个.

样本: 从总体中抽样(X1,…Xn),观测值(x1,…xn)

统计量的定义: 不含任何未知参数的样本的函数(以下X’都表示均值)

  • x1 + x2 + …+xn
  • 均值: X’ = 1/nΣi=1nXi
  • 未修正的样本方差: S02 = 1/nΣi=1n(Xi-X’)
  • 样本的方差: S2 = 1/(n-1)Σi=1n(Xi-X’)2
  • 样本的标准差: S = (1/(n-1)Σi=1n(Xi-X’))½
  • 样本K阶原点距: Ak = 1/nΣi=1nXik   A1 = X’
  • 样本K阶中心距: Bk = 1/nΣi=1n(Xi-X’)k  B2 = S02

两个样本的协方差: 

  • S12 = 1/nΣ(Xi-X’)(Yi-Y’)
  • 相关系数: R = S12/S1S2

样本均值和样本方差的性质:

  • 设总体X的均值未EX = μ, 方差为DX = σ2, 样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X, 则:
    • EX’ = μ
    • DX’ = 1/nσ2
    • E(S)2 = σ2

抽样分布(统计量分布):

  • 卡方分布: 
    • 定理: X1,…Xn相互独立, 服从标准正太分布N(0,1)  Σi=1nxi2 ~ X2(n), 自由度是由前边变量的个数决定的
    • EX = n,   DX = 2n
    • 定理: X~ X2(n),  Y ~ X2(n),, X,Y均服从卡方分布, 且X,Y相互独立,则X+Y ~ X2(m+n)
    • 推论: Xi ~ X2(mi), Xi之间相互独立, Σi=1nXi ~ X2i=1nmi)
  • 上α分位数: 
    • P (X2 > X2α(n)) = α
      • α就是点, X2α :这的α是概率

t分布: 

  • 定理: X ~ N(0,1)服从正太分布, Y ~ X2(n)服从卡方分布, X,Y独立, 则X/(Y/n)½ ~ t(n)

F分布:

  • 定理: X ~ X2(n1), Y ~ X2(n2), X,Y均服从卡方分布, 且相互独立, 则(X/n1)⁄(Y/n2) = F(n1, n2)
  • F(n1, n2) = 1/(F(n2, n1))

正太总体下的抽样分布

  • 定理: X ~ N(μ,σ2)的正态分布, {X1, …Xn}样本
    • X’ ~ N(μ, σ2/n)
    • (X’ – μ)/(σ/n½ )= (X’ – μ)/σn½ ~ N(0,1)
    • EX = μ
    • DX = σ2/n
    • (n-1)s22 = 1/σ2 = 1/σ2Σi=1n(xi – x’)2 ~ X2(n-1)  (卡方分布)
    • X’ 与S2相互独立
  • 1/σ2Σi=1n(Xi-μ)2 ~ X2(n)
  • (X’ – μ)/Sn½ ~ t(n-1)
  • 两个正太总样本: X ~ N(μ1, σ12),  Y ~ N(μ2, σ22)
    • [(X’-Y’) – (μ1 – μ2)] / (σ12/n1 + σ22/n2)½ 
    • (S1212)/(S2222) ~ F(n1-1, n2-1)

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