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第八章- 假设检验

admin

11月 28, 2021

假设检验问题: 

  • 总体的分布未知
    • 类型未知
    • 参数未知
  • 对总体分布(未知)的某种推断,-假设
  • 提出假设:
    • 原假设(零假设)-一般没有足够的理由否定的原问题
    • 备择假设(对立假设)-和原问题对立的假设

假设检验的概念:

  • 对总体分布的论断就是假设检验
  • 假设检验:检验假设成立与否的过程, 利用样本信息加以检验
  • 假设检验问题:
    • 显著性假设检验问题-唯一假设H0
    • H0对H1假设检验问题
  • 思想: 构造统计量T(在H0成立的情况下)→T的分布, 检验得到↔P{T←I}=α(小)
    • P{(X1,…Xn)€W} = α  (W:叫做H0的拒绝域)
    • P{(X1,…Xn)€W’} = 1-α  (W’:叫做H0的接受域)
  • 步骤:
    • 提出原假设H0, H1
    • 假定H0成立, 取统计量T, 分布已知
    • 对于给定的α, 找到P{(X1,…Xn)€W} = α
    • 给出的样本数据, 由样本值(x1,…xn)求出统计量T的值.
      • (x1,..,xn)€W→拒绝H0
      • (x1,..,xn)€W’→接受H0

两类错误:

  • 第一类错误: 弃真
    • P{拒绝H0|H0为真} = α
  • 第二类错误: 纳伪(取伪)
    • P{接受H0|H0伪假} = β
决策 H0为真 H0为假
接受H0 正确决策(1-α) 纳伪(β)
拒绝H0 弃真(α) 正确决策(1-β)

一个正太总体的参数假设检验

  • σ202, 检验μ=μ0, →U检验
  • X~N(μ, σ2), (X1,X2,…,Xn)取自X的样本, 检验率:α, σ202已知, 检验H0: μ=μ0
    • 第一步: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0
    • 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0, σ02)→取统计量U = (X’-μ0)/(σ0/n½) ~ N(0,1)
    • 第三部: 给定义, 由P{|U|>Uα/2}=α→Uα/2
      • 拒绝域: W = {(x1,…,xn)| |U|>Uα/2}
      • 接受域: W’ = {(x1,…,xn)| |U|<Uα/2}
    • 第四步:计算U的值|U|与Uα/2比较
  • σ2未知, 检验μ=μ0, T检验法
    • 第一步: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0
    • 第二步: 假定H0成立, 取T = (X’-μ0)/(S/n½) ~ t(n-1)
      • 拒绝域: W = {(x1,…xn| |t|>tα/2(n-1))}
    • 第四步: 计算T的值 将|t|与tα/2(n-1)比较
检验法 假设 检验法计算及分布 拒绝域W

U检验法

σ202

H0:μ=μ0, H1: μ=μ0

u= (X’-μ0)/(σ0/n½) ~ N(0,1) |U|>Uα/2
H0: μ≤μ0, H: μ>μ0 U>Uα
H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0 U<-Uα
T检验法, σ2未知 H0:μ=μ0, H1: μ=μ0 T =(X’-μ0)/(S/n½) ~ t(n-1) |t| > t(α/2)(n-1)
H0: μ≤μ0, H: μ>μ0 t > tα(n-1)
H0: μ≥μ0, H1:μ<μ0 t<tα(n-1)

σ2的假设检验:

  • 当μ已知, σ2=σ02步骤:
    • 第一步: H0: σ202, H12≠σ02
    • 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ002), x1,…,xn是样本, 取统计量X2 (卡方分布)= [Σ(Xi0)2]/σ02 ~ X2(n)  →卡方分布
    • 第三步: 给定α, 由P{X2>X2α/2(n)}=P{X2<X21-α/2(n)} = α/2
    • 第四步: 计算X2的值, 比较
  • 当μ未知, 步骤:

    • 第一步: H0: σ202, H12≠σ02
    • 第二步: 假定H0成立, X ~ N(μ0,σ02), x1,…,xn是样本, 取统计量X2 (卡方分布)= [Σ(Xi-X'(均值))2]/σ02 ~ X2(n-1)  →卡方分布
    • 第三步: 给定α, 由P{X2>X2α/2(n-1)}=P{X2<X21-α/2(n-1)} = α/2
    • 第四步: 计算X2的值, 比较
检验法 假设 统计量及分布 拒绝域W

X2检验(卡方分布)

(μ=μ0已知)

H0: σ202, H1: σ2≠σ02 X2 = [Σ(Xi-μ0)2]/σ02 ~ X2(n) X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n)
H0: σ2≤σ02, H1: σ202 X2>Xα2(n)
H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02 X2<X1-α(n)

X2检验(卡方分布)

(μ=μ0未知)

H0: σ202, H1: σ2≠σ02

X2 = [(n-1)S2]/σ02 ~ X2((n-1)

X2 = Σ(Xi-X’)202 

X2>x2α/2或X2<X21-α/2(n-1)
H0: σ2≤σ02, H1: σ202 X2>Xα2(n-1)
H0: σ2≥σ02, H1: σ2<σ02 X2<X1-α(n-1)

两个正太总体的参数假设检验

  • 两个正态总体均值差异性检验
    • 步骤
      • 当σ12, σ22已知, 检验H0:μ1=μ2
      • 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
      • 第二步: 假定H0成立, 取U = (X’-Y’)/(σ12/n1 + σ22/n2) ~ N(0,1)
      • 第三步: 给定α, 由P{|U|>Uα/2} = α, Uα/2→W={(x1,…xn)| |U|>Uα/2}, {(y1,…,yn)| |U|>Uα/2}
      • 第四步: 计算 |U| |U|与Uα/2比较
  • 方差σ12, σ22的差异性检验
    • 步骤:
      • 当σ12, σ22已知, 检验H0:μ1=μ2
      • 第一步: 提出H0:μ1=μ2, H1: μ1≠μ2
      • 第二步: 假定H0成立, 取T = (X’-Y’)/{[(n1-1)S12+(n2-1)S22]/(n1+n2-2)}½· (1/n1+1/n2)½
      • 给定α, 由P{|T|>tα/2} = α, tα/2→W={(x1,…xn)| |t|>tα/2}, {(y1,…,yn)| |t|>tα/2}
      • 计算 |T| |T|与tα/2比较
检验法 假设 统计量及分布 拒绝域W

U检验

1222已知)

H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2 U = (X’-Y’)/(σ12/n122/n2)½ ~ N(0,1) |U|>Uα/2
H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2 U>Uα
H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2 U<-Uα

T检验

1222=σ2未知)

H0: μ1=μ2, H1: μ1≠μ2 T = (X’-Y’)/{[(n1-1)S12+(n2-1)S22]/(n1+n2-2)}½(1/n1+1/n2-2)½ |t|>tα/2(n1+n2-2)
H0: μ1≤μ2, H1: μ1>μ2 t>tα(n1+n2-2)
H0: μ1≥μ2, H1: μ1<μ2 t<-tα(n1+n2-2)

总体方差σ12, σ22的差异性检验

  • μ1, μ2都未知, 检验H0: σ1222
  • 第一步: 提出H0: σ1222, H1: σ12≠σ22
  • 第二步: 假定H0成立, 取F = S12/S22 ~ F(n1-1, n2-1)
  • 第三步: 给定义 由P{F>Fα/2} = P{F<F1-α/2} = α/2, W = {(x1,…,xn)|f>fα/2(n1-1,n2-1)}或f<f1-α/2(n1-1, n2-1)
  • 第四步: 计算F的值与fα/2比较

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