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#分治NTT,容斥定理,排列组合#LOJ 6503 「雅礼集训 2018 Day4」Magic

admin

11月 28, 2021

题目

桌面上摆放着 (m) 种魔术卡,共 (n) 张,第 (i) 种魔术卡数量为 (a_i),魔术卡顺次摆放,形成一个长度为 (n) 的魔术序列,

在魔术序列中,若两张相邻魔术卡的种类相同,则它们被称为一个魔术对。

两个魔术序列本质不同,当且仅当存在至少一个位置,使得两个魔术序列这个位置上的魔术卡的种类不同,

求本质不同的恰好包含 (k) 个魔术对的魔术序列的数量,答案对 (998244353) 取模。


分析

考虑给种类相同的也存在次序,最后再除以(a_i!)
对于单个种类至少有(k)个魔术对的方案就是

[C(a_i,k)frac{(a_i-1)!}{(a_i-k-1)!}
]

就是先选择(k)个成为魔术对,再一个一个插入,
由于剩下的(n-2*k)个不确定是否产生魔术对,所以是至少
上面这个式子直接表示成(m)个多项式,用分治NTT
那恰好就不好做了,考虑容斥,

[ans=sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}C(i,k)f[i](n-i)!
]

((n-i)!)是因为把剩下的任意排


代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rr register
#define mem(f,n) memset(f,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(f,g,n) memcpy(f,g,sizeof(int)*(n))
using namespace std;
const int mod=998244353,inv3=332748118,N=100011;
typedef long long lll; typedef unsigned long long ull;
int n,m,Gmi[31],Imi[31],len[15],fac[N],inv[N],ff[15][N<<2],a[N],v[15],t=1,ans,k;
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans;
}
inline void print(int ans){
    if (ans>9) print(ans/10);
    putchar(ans%10+48);
}
inline signed address(){
	for (rr int i=0;i<15;++i)
    	if (!v[i]) return i;
    return -1;
}
inline signed ksm(int x,int y){
	rr int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
	    if (y&1) ans=1ll*ans*x%mod;
	return ans;
}
inline signed C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
namespace Theoretic{
	int rev[N<<2],LAST; ull Wt[N<<2],F[N<<2];
	inline void Pro(int n){
		if (LAST==n) return; LAST=n,Wt[0]=1;
		for (rr int i=0;i<n;++i)
		    rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);
	}
	inline void NTT(int *f,int n,int op){
		Pro(n);
		for (rr int i=0;i<n;++i) F[i]=f[rev[i]];
	    for (rr int o=1,len=1;len<n;++o,len<<=1){
	    	rr int W=(op==1)?Gmi[o]:Imi[o];
	    	for (rr int j=1;j<len;++j) Wt[j]=Wt[j-1]*W%mod;
	    	for (rr int i=0;i<n;i+=len+len)
	    	for (rr int j=0;j<len;++j){
	    		rr int t=Wt[j]*F[i|j|len]%mod;
	    		F[i|j|len]=F[i|j]+mod-t,F[i|j]+=t;
			}
	    	if (o==10) for (rr int j=0;j<n;++j) F[j]%=mod;
		}
		if (op==-1){
			rr int invn=ksm(n,mod-2);
			for (rr int i=0;i<n;++i) F[i]=F[i]%mod*invn%mod;
		}else for (rr int i=0;i<n;++i) F[i]%=mod;
		for (rr int i=0;i<n;++i) f[i]=F[i];
    }
	inline void Cb(int *f,int *g,int n){
		for (rr int i=0;i<n;++i) f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;
	}
	inline signed CDQ_NTT(int l,int r){
		if (l==r){
			rr int now=address();
			len[now]=a[l],v[now]=1;
			for (rr int i=0;i<len[now];++i)
				ff[now][i]=1ll*C(a[l],i)*C(a[l]-1,i)%mod*fac[i]%mod;
			return now;
		}
		rr int mid=(l+r)>>1,L;
		rr int lef=CDQ_NTT(l,mid),rig=CDQ_NTT(mid+1,r);
		for (L=1;L<len[lef]+len[rig];L<<=1);
		NTT(ff[lef],L,1),NTT(ff[rig],L,1),Cb(ff[lef],ff[rig],L),
		mem(ff[rig],L),len[lef]+=len[rig],len[rig]=v[rig]=0,NTT(ff[lef],L,-1);
		return lef;
	}
}
inline void GmiImi(){
	for (rr int i=0;i<31;++i) Gmi[i]=ksm(3,(mod-1)/(1<<i));
	for (rr int i=0;i<31;++i) Imi[i]=ksm(inv3,(mod-1)/(1<<i));		
}
signed main(){
	m=iut(),n=iut(),k=iut(),GmiImi(),inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=1;
	for (rr int i=2;i<=n;++i) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for (rr int i=2;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
	for (rr int i=1;i<=m;++i) a[i]=iut(),t=1ll*t*inv[a[i]]%mod;
	rr int now=Theoretic::CDQ_NTT(1,m);
	for (rr int i=k;i<=n;++i)
	if ((i-k)&1) ans=(ans+mod-1ll*ff[now][i]*C(i,k)%mod*fac[n-i]%mod)%mod;
	    else ans=(ans+1ll*ff[now][i]*C(i,k)%mod*fac[n-i]%mod)%mod;
    return !printf("%lld",1ll*ans*t%mod);
}

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