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对泰勒公式又有了新的认识

admin

11月 28, 2021

之前的泰勒公式只用在了做极限上面,日日的做极限直接背过了好几个常用的展开,直到今天才发现原来我之前连泰勒公式定义都没搞明白。

当然浅显易懂的泰勒就是让你求个极限展开然后多加一个(O(x^n))之类的东西。

不过正统的泰勒是一个函数逼近的玩意,这个类似于之前搞过的Simpson积分法,也是用多项式去拟合。

看这个定义肯定觉得很熟悉,不过实际上他还有一层关系在于我可以选取任意的(x_0)去做,然后只要我当前要算的(x)(x_0)邻域内能求到那些导数,那就是可以的了。

所以实际上来说(x_0)还是很自由的了,之前并没有这种理解,而且要拟合的(f(x))也是很自由的,可以用任意的(x_0)拟合。

然后就是今天的一个小疑问,

这玩意我搞了一阵子,没搞出来,答案是说要用泰勒,但是他泰勒我又看了一阵子

发现不应该都是(x)吗怎么还不一样,这就是泰勒还有的两个小贱的地方了,也就是两个余项。所谓余项就是拟合的过程中肯定要出现误差,我再给他加上。

两个余项对于考研来说,就是为了做题服务的,一个叫做拉格朗日余项,也就是我能展开到((n+1))阶导数,但是我就展开到(n)阶,第((n+1))阶导数我就给他上面的(x_0)换一个字母,然后这个字母介于(x_0)(x)之间。。。。实际上没啥用,就是换个字母,做题的时候注意一下严谨性就好,就是玩。

另一个就是常见的佩亚诺余项,多一个高阶无穷小,实际上也就是玩。

不过对于做极限用泰勒的更深层的含义,实际上就是我选取(x_0=0)这个就转换成了一个叫做麦克劳林公式的玩意,实际上还是泰勒,然后我把要求的极限式子当作(f(x))然后用这个(x_0=0)去拟合,算出来的(f(x))是一个多项式再加一个佩亚诺余项,然后用这个多项式去(x->0)就好算了。

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